YouTubeからリンクされているAdobeのFlashPlayerダウンロードページから、再々ダウンロードを試みてもダメ。途方に暮れましたが、ネットで対処法を探せばいいんだと気づき、さっそくグーグルで検索してみました。
・YouTube 見られない - Google 検索
「見られない」という言い方で正しいですが、ら抜き言葉の「見れない」も現在定着しているので、下の言い方も探してみました。
・YouTube 見れない - Google 検索
そして出てきたこちらのサイト。
■YouTubeが見れない、Flashが再生できない時の対処法|ぼくんちのTV 別館
http://freesoft.tvbok.com/freesoft/youtube/youtube_flash.html
こちらの解説により、一発解決しました。Internet Explorer(インターネット エクスプローラ・以下IE)での場合ですが、コレを試してみてダメだったらコレ、というように、段階を追って手順を解説されています。ただパソコン初心者には用語などむずかしいところもあるようです。
うちのパソコンの場合は、ひとつの対処法を試したところ、一発で直りました。
>インターネットキャッシュをオールクリアしてみる。
これは何をどうすればいいのか、分からない人も多いと思います。インターネットキャッシュとはインターネット一時ファイルのことですね。

IE上部にあるメニューの「ツール(T)」の中にある「インターネット オプション(O)」をクリック。

真ん中のインターネット一時ファイル(青字で書いてありますね)の「ファイル削除(F)」をクリック。
そして「すべてのオフライン コンテンツを削除する(D)」にチェックして[OK]をクリックすると、インターネット一時ファイルが削除されます。再度同じサイトを訪問したときにページの表示が速くなるためのデータを格納してあるだけなので、削除しても問題ありません。
ちなみに削除には時間がかかります。うちのパソコンの場合、2分ぐらい掛かりました。
以上の1つの対処法で、うちのパソコンはYouTubeが見られるようになりました。スクリプトを無効にするとか面倒くさいなぁと思っていたのであっけなかったです。
2番目の対処法に書かれている「インターネットオプションのスクリプトを一旦無効に・・・」というのはどうするのかというと、以下の通りです。
言い忘れていて申し訳ありませんが、IE6.0の場合で話を進めています。

インターネットオプションのセキュリティの「レベルのカスタマイズ(C)」をクリック。

セキュリティの設定にある「Javaアプレットのスクリプト」で無効・有効にするわけですね。IEのバージョンごとに操作がちがうので、下記マイクロソフトのサポートページをどうぞ。
■Internet Explorer のアクティブ コンテンツを無効にする方法
http://support.microsoft.com/kb/154036/ja
■Internet Explorer 6 でインターネット一時ファイルを削除する方法
http://support.microsoft.com/kb/880693/ja
インターネット一時ファイルを削除する方法もマイクロソフトの解説ページがあったんですね。
関連:
古いバージョンより軽くなったと話題のノートンインターネットセキュリティーほか
